Question

Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y=\sin ^{4} x-2\cos ^{2} x+1\) là.

\(A. M=2,\; m=-2. B. M=1,\; m=0.\)

\(C. M=4,\; m=-1. D. M=2,\; m=-1.\)
 

Answer 1

Chọn D
\(y=\sin ^{4} x-2\cos ^{2} x+1=\left(1-\cos ^{2} x\right)^{2} -2\cos ^{2} x+1. \)
Đặt \(t=\cos ^{2} x\quad \left(0\le t\le 1\right).\) Khi đó hàm số trở thành \(g\left(t\right)=t^{2} -4t+2\quad t\in \left[0;1\right].\)

\(M={\mathop{{\rm Max}}\limits_{\left[0;1\right]}} g\left(t\right)=g\left(0\right)=2 đạt được khi \cos ^{2} x=0\Leftrightarrow \cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2} +k\pi \; \left(k\in {\rm Z}\right).\)

\(m={\mathop{{\rm Min}}\limits_{\left[0;1\right]}} g\left(t\right)=g\left(1\right)=-1 đạt được khi \cos ^{2} x=1\Leftrightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi \; \left(k\in {\rm Z}\right).\)