a) Trong tam giác ABC, có
góc A + góc B + góc C= 180độ ( định lý tổng 3 góc)
hay 90 độ + 30 độ +góc B = 180 độ
=> góc B = 180 độ - 90 độ - 30 độ = 60 độ
Theo đề ta có: HD = HB và AH vuông góc với BC
=> AH là đường trung trực của BD
=> Tam giác ABD cân
Lại có góc B =60 độ (mà tam giác cân có 1 góc bằng 60 độ là tam giác đều)
=> Tam giác ABD là tam giác đều
b) Vì tam giác ABD là tam giác đều nên ta có góc DAB = 60 độ
Xét góc CAD, ta có: góc CAD = góc CAB - góc DAB
hay góc CAD = 90 độ - 60 độ = 30 độ
Xét tam giác DAC, ta có:
góc ACD = góc CAD = 30 độ
=> tam giác DAC là tam giác cân ( cân tại D)
=> DC = DA
Xét 2 tam giác vuông CED và AHD , ta có
DC = DA ( chứng minh trên)
góc CDE = góc ADH ( đối đỉnh)
=> tam giác CED = tam giác AHD ( cạnh huyền - góc nhọn)
=> AH = CE ( đpcm)
=> cạnh DE = cạnh DH
c) Ta có góc CDA + góc ADH = 180 độ ( 2 góc kề bù)
=> góc CDA = 180 độ - 60 độ = 120 độ
Ta có góc ADC đối đỉnh góc HDE
=> góc HDE = 120 độ
Tam giác DEH có DE = DH => tam giác DEH cân tại D
=> góc DEH = góc DHE => 2 lần góc DHE = góc DEH + góc DHE
Áp dụng định lý tổng 3 góc trong tam giác vào tam giác DEH, có
góc EDH + góc DEH + góc DHE = 180 độ
hay 120 độ + 2 lần góc DHE = 180 độ
=> 2 lần góc DHE = 180 độ - 120 độ =60 độ
=> góc DHE = 1/2 60 độ = 30 độ
Ta có góc DHE và góc DCA bằng nhau ( cùng =30 độ)
Mà 2 góc này ở vị trí sole trong nên EH // CA ( đpcm)