Toán 8 nâng cao :>>. làm hết lun nha

Question

1. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức

a. A = 5 – 8x – x²

b. B = 5 – x² + 2x – 4y² – 4y

2. Chứng minh rằng:

x² + 5y² + 2x – 4xy – 10y + 14 > 0 với mọi x, y.

3. Tổng ba số bằng 9, tổng bình phương của chúng bằng 53. Tính tổng các tích của hai số trong ba số ấy.

4. Chứng minh tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.

Answer 1

1.a. A=5 – 8x – x2

= -x² - 2.x.4 - 16 + 21

= -(x + 4)² + 21

Vì -(x + 4)²  <=> -(x + 4)² + 21 

Dấu "=" xảy ra khi: -(x + 4)² = 0 <=> x = -4

Vậy maxA=21 khi x = -4

b. B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y

= -x² + 2x - 1 - 4y² - 4y - 1 + 7

= -(x-1)² - (2y+1)² +7

Vì -(x-1)² và - (2y+1)²  

=> -(x-1)² - (2y+1)²  

<=> -(x-1)² - (2y+1)² +7 

Dấu "=" xảy ra khi: -(x-1)²=0 và - (2y+1)² = 0

<=> x=1 và y=

Vậy maxB=21 khi x=1 và y=

2. x2 + 5y2 + 2x – 4xy – 10y + 14 

= x² - 4xy + 4y²+ y² - 6y + 9 + 2(x - 2y) + 5

 

= (x-2y)² + (y - 3)² + 2(x-2y) + 5

= (x-2y)² + 2(x-2y) + 1 + (y-3)² + 4

= (x - 2y + 1)² + (y - 3)² + 4 > 0 với mọi x, y.

3.Gọi ba số đó là x, y, z. Theo đề bài ta có: x + y + z = 9 và x² + y² + z² = 53 

Có: x + y + z = 9

<=> (x + y + z)² = 9²

<=> x² + y² + z² + 2(xy + yz + xz) = 81

<=> 53 + 2(xy+ yz + xz) = 81

<=> xy+ yz + xz = 14

Vậy tổng các tích của hai số trong ba số ấy là 14

4.Gọi ba số nguyên liên tiếp lần lượt là x-1; x; x+1

Ta có: 

(x-1)³ + x³ + (x + 1)³

= x³ - 3x² + 3x - 1 + x³ + x³ + 3x² + 3x + 1

= 3x³ + 6x 

= 3x³ - 3x + 9x

= 3x(x² - 1) + 9x

= 3x(x-1)(x+1) + 9x

Vì (x-1); x; (x+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp => (x-1)x(x+1)  3 => 3x(x-1)(x+1)  9

mà 9x  9 => 3x(x-1)(x+1) + 9x  9

Vậy tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9