Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫dx/(x+2)(x+3)(x+4)

Question

\(\int \frac{{\rm d}x}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)}\)

Answer 1

\(\int \frac{{\rm d}x}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)}  =\int \left(\frac{A}{x+2} +\frac{B}{x+3} +\frac{C}{x+4} \right) {\rm d}x\)
Quy đồng và đồng nhất tử số ta được
\(1=A\left(x+3\right)\left(x+4\right)+B\left(x+2\right)\left(x+4\right)+C\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)
Thay lần lượt \(x=-2;\, x=-3;\, x=-4 \) vào biểu thức trên ta được
\(\left\{\begin{array}{l} {1=2A} \\ {1=-B} \\ {1=2C} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {A=\frac{1}{2} } \\ {B=-1} \\ {C=\frac{1}{2} } \end{array}\right. \)
\(\int \frac{{\rm d}x}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)}  =\int \left(\frac{1}{2\left(x+2\right)} -\frac{1}{x+3} +\frac{1}{2\left(x+4\right)} \right) {\rm d}x\)
\(=\frac{1}{2} \ln \left|x+2\right|-\ln \left|x+3\right|+\frac{1}{2} \ln \left|x+4\right|+C\)
Vậy \(\int \frac{{\rm d}x}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)}   =\frac{1}{2} \ln \left|x+2\right|-\ln \left|x+3\right|+\frac{1}{2} \ln \left|x+4\right|+C.\)