Cho hai số phức z và w thỏa mãn z+2w=8-6i và |z-w|=4. Giá trị lớn nhất của biểu thức |z|+|w| bằng

Question

Cho hai số phức \(z\) và \(w\) thỏa mãn \(z+2w=8-6i\) và \(\left|z-w\right|=4\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(\left|z\right|+\left|w\right| \) bằng

\(A. 4\sqrt{6} . \)

\(B. 2\sqrt{26} . \)

\(C. \sqrt{66} . \)

\(D. 3\sqrt{6} .\)

Answer 1

Chọn C

Gọi M,N lần lượt là các điểm biểu diễn cho z và w.

Ta có

\(\left|z+2w\right|^{2} +2\left|z-w\right|^{2} =\left|\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}\right|^{2} +2\left|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}\right|^{2} \)

\(=3\overrightarrow{OM}^{2} +6\overrightarrow{ON}^{2} =3\left|z\right|^{2} +6\left|w\right|^{2} \)

\(\Rightarrow 3\left|z\right|^{2} +6\left|w\right|^{2} =8^{2} +6^{2} +2.4^{2} =132 \)

Khi đó

\(\left|z\right|+\left|w\right|=\left|z\right|+\sqrt{\frac{132-3\left|z\right|^{2} }{6} } =\frac{1}{\sqrt{2} } \left|z\right|\sqrt{2} +\sqrt{\frac{132-3\left|z\right|^{2} }{6} } .1\)

\(\le \sqrt{\left(\frac{1}{2} \left|z\right|^{2} +\frac{132-3\left|z\right|^{2} }{6} \right)\left(1+2\right)} =\sqrt{66} .\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left|z\right|=2\sqrt{\frac{22}{3} } ,\left|w\right|=\frac{\sqrt{66} }{3} , z+2w=8-6i\)

và \(\left|z-w\right|=4.\)