Cho hai số phức z1,z2 thoả mãn |z1+1-2i|+|z1-3-3i|=2|z2-1-5/2 i|=√17. Giá trị lớn nhất của biểu thức...

Question

Cho hai số phức \(z_{1} ,\, \, z_{2}\)  thoả mãn \(\left|z_{1} +1-2i\right|+\left|z_{1} -3-3i\right|=2\left|z_{2} -1-\frac{5}{2} i\right|=\sqrt{17}\) . Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left|z_{1} -z_{2} \right|+\left|z_{1} +1+2i\right|\) là

\(A. 3\sqrt{41} . \)

\(B. \sqrt{17} +\sqrt{41} .\)

\(C. \sqrt{17} -\sqrt{41} . \)

\(D. 2\sqrt{17} .\)

Answer 1

Chọn B

 

Ta có \(\left\{\begin{array}{l} {\left|z_{1} +1-2i\right|+\left|z_{1} -3-3i\right|=\sqrt{17} } \\ {2\left|z_{2} -1-\frac{5}{2} i\right|=\sqrt{17} } \end{array}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {\left|z_{1} +1-2i\right|+\left|z_{1} -3-3i\right|=\sqrt{17} \, \, }(1) \\ {\left|z_{2} -1-\frac{5}{2} i\right|=\frac{\sqrt{17} }{2} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (2)} \end{array}\right.  \)

Gọi M là điểm biểu diễn số phức \(z_{1}\) , N là điểm biểu diễn số phức \(z_{2}\) , \(A\left(-1;\, 2\right);\, B\left(3;\, 3\right);\, C\left(1;\, \frac{5}{2} \right)\) . Ta có \(AB=\sqrt{17} .\)

Từ \((1)\) suy ra \(MA+MB=\sqrt{17} =AB\).

Do đó M nằm trên đoạn thẳng AB.

Từ \((2)\) suy ra \(NC=\frac{\sqrt{17} }{2}\) .

Do đó N thuộc đường tròn tâm \(C\left(1;\, \frac{5}{2} \right)\),

bán kính \(R=\frac{\sqrt{17} }{2}\)  và \(C\left(1;\, \frac{5}{2} \right) \)là trung điểm của AB.

Ta có \(P=\left|z_{1} -z_{2} \right|+\left|z_{1} +1+2i\right|=MN+MD\),

với \(D\left(-1;\, -2\right).\)

Vì \(MN\le 2R; MD\le \max \left\{DA;\, DB\right\}=DB=\sqrt{41}\)  

nên \(P=MN+MD\le 2R+DB=\sqrt{17} +\sqrt{41} \)

Dấu bằng xảy ra khi M trùng với B và N trùng với A