(d) cắt (P) taị hai điểm phân biệt M,N. Gọi a,b lần lượt là min,max của độ dài đoạn thẳng MN. Tính tổngS=a2+b2.

Question

Cho đường thẳng (d): y=-2 và parabol \(\left(P_{m} \right):y=-x^{2} +mx-m^{2} +1 \)với \(m\in \left[-1;\frac{1}{2} \right].\) (d) cắt (P) taị hai điểm phân biệt M,N. Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN. Tính tổng \(S=a^{2} +b^{2} . \)

A.21.  B.22.

C.23.  D.20.

Answer 1

Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(d\right) và \left(P_{m} \right):\)
\(-x^{2} +mx-m^{2} +1=-2 \Leftrightarrow -x^{2} +mx-m^{2} +3=0 \left(1\right)\)
Phương trình \(\left(1\right) \)có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 
\(m^{2} -4\left(m^{2} -3\right)>0\Leftrightarrow -3m^{2} +12>0\Leftrightarrow m^{2} <4\Leftrightarrow -2<m<2.\)
Suy ra với \(m\in \left(-2;2\right) thì \left(d\right) cắt \left(P_{m} \right)\) tại 2 điểm phân biệt.

Mặt khác đề bài yêu cầu ta xét bài toán với \(m\in \left[-1;\frac{1}{2} \right]\subset \left(-2;2\right) nên \left(d\right) luôn cắt \left(P_{m} \right)\) tại hai điêm phân biệt M,N.

Gọi \(M\left(x_{1} ;-2\right),N\left(x_{2} ;-2\right) với x_{1} ,x_{2} \) là nghiệm của phương trình \(\left(1\right).\)
\(MN=\left|x_{2} -x_{1} \right|=\frac{\sqrt{\Delta } }{\left|a\right|} =\frac{\sqrt{-3m^{2} +12} }{1} =\sqrt{-3m^{2} +12} \)
Xét hàm số \(f\left(m\right)=-3m^{2} +12 với m\in \left[-1;\frac{1}{2} \right] \)

Ta có \(f'\left(m\right)=-6m=0\Leftrightarrow m=0\in \left[-1;\frac{1}{2} \right].\)

Ta có\( f\left(0\right)=12,\, f\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{45}{4} ,\, f\left(-1\right)=9 \)

Suy ra \(a=\sqrt{12} , b=3, suy ra a^{2} +b^{2} =21. \)