Chọn A
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(d\right) và \left(P_{m} \right):\)
\(-x^{2} +mx-m^{2} +1=-2 \Leftrightarrow -x^{2} +mx-m^{2} +3=0 \left(1\right)\)
Phương trình \(\left(1\right) \)có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
\(m^{2} -4\left(m^{2} -3\right)>0\Leftrightarrow -3m^{2} +12>0\Leftrightarrow m^{2} <4\Leftrightarrow -2<m<2.\)
Suy ra với \(m\in \left(-2;2\right) thì \left(d\right) cắt \left(P_{m} \right)\) tại 2 điểm phân biệt.
Mặt khác đề bài yêu cầu ta xét bài toán với \(m\in \left[-1;\frac{1}{2} \right]\subset \left(-2;2\right) nên \left(d\right) luôn cắt \left(P_{m} \right)\) tại hai điêm phân biệt M,N.
Gọi \(M\left(x_{1} ;-2\right),N\left(x_{2} ;-2\right) với x_{1} ,x_{2} \) là nghiệm của phương trình \(\left(1\right).\)
\(MN=\left|x_{2} -x_{1} \right|=\frac{\sqrt{\Delta } }{\left|a\right|} =\frac{\sqrt{-3m^{2} +12} }{1} =\sqrt{-3m^{2} +12} \)
Xét hàm số \(f\left(m\right)=-3m^{2} +12 với m\in \left[-1;\frac{1}{2} \right] \)
Ta có \(f'\left(m\right)=-6m=0\Leftrightarrow m=0\in \left[-1;\frac{1}{2} \right].\)
Ta có\( f\left(0\right)=12,\, f\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{45}{4} ,\, f\left(-1\right)=9 \)
Suy ra \(a=\sqrt{12} , b=3, suy ra a^{2} +b^{2} =21. \)
