Chào mừng bạn đến với Selfomy Hỏi Đáp, hãy Hỏi bài tập hoặc Tham gia ngay
0 phiếu
620 lượt xem
trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)

Cho các số thực dương thay đổi a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của biểu thức \(A=2\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \right)+\frac{ab+bc+ca}{a^{2} b+b^{2} c+c^{2} a} .\)

A. 7.

B. 6.

C. 5.

D. 4.


1 Câu trả lời

0 phiếu
bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
 
Hay nhất

Chọn A

Ta có \(a^{2} +b^{2} +c^{2} =\frac{1}{3} \left(a+b+c\right)\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \right)\)
\(=\frac{1}{3} \left(a^{3} +b^{3} +c^{3} +ab^{2} +ac^{2} +a^{2} b+bc^{2} +a^{2} c+b^{2} c\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
\(\left\{\begin{array}{l} {a^{3} +ab^{2} \ge 2a^{2} b} \\ {b^{3} +bc^{2} \ge 2b^{2} c} \\ {c^{3} +ca^{2} \ge 2c^{2} a} \end{array}\right. \Rightarrow a^{3} +b^{3} +c^{3} +ab^{2} +bc^{2} +ca^{2} \ge 2\left(a^{2} b+b^{2} c+c^{2} a\right).\)
Suy ra \(a^{2} +b^{2} +c^{2} \ge a^{2} b+b^{2} c+c^{2} a.\)

\(ab+bc+ca=\frac{\left(a+b+c\right)^{2} -\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \right)}{2} =\frac{9-\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \right)}{2} .\)

Khi đó \(A\ge 2\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \right)+\frac{9-\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \right)}{2\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \right)} .\)

Đặt \(t=a^{2} +b^{2} +c^{2} \ge \frac{\left(a+b+c\right)^{2} }{3} =3.\)

Ta có \(A\ge 2t+\frac{9-t}{2t} =2t+\frac{9}{2t} -\frac{1}{2} =\left(\frac{1}{2} t+\frac{9}{2t} \right)+\frac{3}{2} t-\frac{1}{2} \ge 2\sqrt{\frac{1}{2} t.\frac{9}{2t} } +\frac{3}{2} .3-\frac{1}{2} \)

Suy ra A\ge 7.Dấu ``='' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A=7 khi a=b=c=1.  
 

Các câu hỏi liên quan

0 phiếu
1 trả lời 283 lượt xem
Với các số \(a,b,c\in \left[1;5\right] và a+b+c=8 \)thì giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \right)+52\left(ab+bc+ca\right)-1698}{2\left(ab+bc+ca\right)-33} \) là: \(A. -\frac{1202}{87} . B. 86.\) \(C. -\frac{15590}{87} . D. \frac{64}{3} . \)
đã hỏi 11 tháng 8, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 79 lượt xem
Với các số \(a,b,c\in \left[1;5\right]\) và a+b+c=8 thì giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \right)+52\left(ab+bc+ca\right)-1698}{2\left(ab+bc+ca\right)-33}\) là: A. \(-\frac{1202}{87}\) . B. 86. C. \(-\frac{15590}{87} \). D. \(\frac{64}{3} .\)
đã hỏi 12 tháng 10, 2020 trong Toán lớp 12 bởi phuonqmin1206 ● Cộng Tác Viên Học sinh (273 điểm)
0 phiếu
1 trả lời 146 lượt xem
Cho \(\left\{\begin{array}{l} {a,{\rm \; }b,{\rm \; }c{\rm \; }\in \left[0;+\infty \right)} \\ {a^{2} +b^{2} +c^{2} =3} \end{array}\right. .\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{50}{729\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)} +2\left(ab+bc+ca\right)-4\left(a+b+c\right)-abc-17.\) A. -20. B. -24. C. -25. D. -30.
đã hỏi 11 tháng 8, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 119 lượt xem
Cho đường thẳng (d): y=-2 và parabol \(\left(P_{m} \right):y=-x^{2} +mx-m^{2} +1 \)với \(m\in \left[-1;\frac{1}{2} \right].\) (d) cắt (P) taị hai điểm phân biệt M,N. Gọi a,b lần lư ... ;a độ dài đoạn thẳng MN. Tính tổng \(S=a^{2} +b^{2} . \) A.21. B.22. C.23. D.20.
đã hỏi 27 tháng 7, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
0 phiếu
0 câu trả lời 209 lượt xem
. a. Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca chứng minh rằng a = b = c b. Tìm a, b, c biết a2 - 2a + b2 + 4b + 4c2 - 4c + 6 = 0
đã hỏi 1 tháng 11, 2021 trong Toán lớp 7 bởi umenihon713 Thạc sĩ (6.8k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 285 lượt xem
Cho các số thực a, b thỏa mãn ab=25, \(a\ge \frac{1}{5} , b\ge 1\). Tìm Pmax của biểu thức \(P=\left(\log _{\frac{1}{5} } a\right)^{3} +\left(\log _{\frac{1}{5} } b-1\right)^{3} .\) \(A. P_{\max } =0. B. P_{\max } =5. \) \(C. P_{\max } =-\frac{4}{27} . D. P_{\max } =-\frac{27}{4} . \)
đã hỏi 27 tháng 7, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 315 lượt xem
Cho các số dương a,b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:\( P=\frac{2}{a+\sqrt{ab} +\sqrt[{3}]{abc} } -\frac{3}{\sqrt{a+b+c} } .\) \(A. \frac{3}{4} . B. -\frac{3}{4} .\) \(C. 2-\sqrt{3} . D. -\frac{3}{2} .\)
đã hỏi 21 tháng 7, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 147 lượt xem
đã hỏi 1 tháng 11, 2021 trong Toán lớp 8 bởi umenihon713 Thạc sĩ (6.8k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 159 lượt xem
Lấy A thuộc \(\left(P_{1} \right):y=x^{2} -4x+3\) và B thuộc \(\left(P_{2} \right):y=-\left(x-6\right)^{2} \)sao cho đoạn thẳng AB ngắn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng AB? A. 2. B. \sqrt{5} . C. 3. D. \sqrt{3} .
đã hỏi 27 tháng 7, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 57 lượt xem
Cho biểu thức \(P=\left(\frac{a^{2} }{b} -\frac{4b^{2} }{a} \right)\left(b-a\right)^{2} +8\sqrt{\left(7+5\sqrt{2} \right)\left(ab-a^{2} \right)\left[4\left(\sqrt{2} +1\right)b+a\right]} với {\rm a,}\, {\rm b} \) là hai số thực thỏa ... ;i đây ? \(A. \left(1;\, 5\right). B. \left(5;\, 10\right).\) \(C. \left(10;20\right). D. \left(-5;5\right).\)
đã hỏi 27 tháng 7, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)

HOT 1 giờ qua

  1. nguyenmanh04102009212

    166 Điểm

  2. tnk11022006452

    160 Điểm

  3. hoconghung031007464

    80 Điểm

Phần thưởng hằng tháng
Hạng 1: 200.000 đồng
Hạng 2: 100.000 đồng
Hạng 3: 50.000 đồng
Hạng 4-10: 20.000 đồng
Bảng xếp hạng cập nhật 30 phút một lần
...