​a+b+c=3. Tìm GTNN của biểu thức A=2(a2+b2+c2)+ab+bc+caa2b+b2c+c2a

Question

Cho các số thực dương thay đổi a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của biểu thức \(A=2\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \right)+\frac{ab+bc+ca}{a^{2} b+b^{2} c+c^{2} a} .\)

A. 7.

B. 6.

C. 5.

D. 4.

Answer 1

Chọn A

Ta có \(a^{2} +b^{2} +c^{2} =\frac{1}{3} \left(a+b+c\right)\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \right)\)
\(=\frac{1}{3} \left(a^{3} +b^{3} +c^{3} +ab^{2} +ac^{2} +a^{2} b+bc^{2} +a^{2} c+b^{2} c\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
\(\left\{\begin{array}{l} {a^{3} +ab^{2} \ge 2a^{2} b} \\ {b^{3} +bc^{2} \ge 2b^{2} c} \\ {c^{3} +ca^{2} \ge 2c^{2} a} \end{array}\right. \Rightarrow a^{3} +b^{3} +c^{3} +ab^{2} +bc^{2} +ca^{2} \ge 2\left(a^{2} b+b^{2} c+c^{2} a\right).\)
Suy ra \(a^{2} +b^{2} +c^{2} \ge a^{2} b+b^{2} c+c^{2} a.\)

Mà \(ab+bc+ca=\frac{\left(a+b+c\right)^{2} -\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \right)}{2} =\frac{9-\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \right)}{2} .\)

Khi đó \(A\ge 2\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \right)+\frac{9-\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \right)}{2\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \right)} .\)

Đặt \(t=a^{2} +b^{2} +c^{2} \ge \frac{\left(a+b+c\right)^{2} }{3} =3.\)

Ta có \(A\ge 2t+\frac{9-t}{2t} =2t+\frac{9}{2t} -\frac{1}{2} =\left(\frac{1}{2} t+\frac{9}{2t} \right)+\frac{3}{2} t-\frac{1}{2} \ge 2\sqrt{\frac{1}{2} t.\frac{9}{2t} } +\frac{3}{2} .3-\frac{1}{2} \)

Suy ra A\ge 7.Dấu ``='' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A=7 khi a=b=c=1.