Lấy A thuộc (P1):y=x2−4x+3 và B thuộc (P2):y=−(x−6)2 sao cho đoạn thẳng AB min. Tính độ dài đoạn thẳng AB? ​

Question

Lấy A thuộc \(\left(P_{1} \right):y=x^{2} -4x+3\) và B thuộc \(\left(P_{2} \right):y=-\left(x-6\right)^{2}  \)sao cho đoạn thẳng AB ngắn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng AB?

A. 2. B. \sqrt{5} .                              

 C. 3. D. \sqrt{3} .
 

Answer 1

\(\forall A\left(a;a^{2} -4a+3\right)\in \left(P_{1} \right)\Rightarrow\) Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là \(y'\left(a\right)=2a-4. \)

\(\forall B\left(b;-\left(b-6\right)^{2} \right)\in \left(P_{2} \right)\Rightarrow\) Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là \(y'\left(b\right)=-2b+12.\)

Tiếp tuyến tại Avà B song song \(\Rightarrow 2a-4=-2b+12\Leftrightarrow b=8-a.\)
\(\Rightarrow B\left(8-a;-a^{2} +4a-4\right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(8-2a;-2a^{2} +8a-7\right)\)
ABvuông góc với tiếp tuyến tại A và B\(\Leftrightarrow \left(8-2a\right).1+\left(2a-4\right)\left(-2a^{2} +8a-7\right)=0 \Leftrightarrow -4a^{3} +24a^{2} -48a+36a=0\Leftrightarrow a=3.\)
\(\Rightarrow  A\left(3;0\right) và B\left(5;-1\right)\)

Do đó AB ngắn nhất \(\Leftrightarrow  AB=\sqrt{5} . \)