(x−3)2+(y−1)2=5.​ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3y2+4xy+7x+4y−1x+2y+1 là ​

Question

Cho x,y là các số thực thỏa mãn\( (x-3)^{2} +(y-1)^{2} =5.\)Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\( P=\frac{3y^{2} +4xy+7x+4y-1}{x+2y+1}\)  là

\( A. 2\sqrt{3} .               B. \sqrt{3} .          \)

\(   C. 3.          D. \frac{114}{11} .\)
 

Answer 1

Chọn C

 Cách 1:

Đặt  \(\left\{\begin{array}{l} {x=3+\sqrt{5} \sin x} \\ {y=1+\sqrt{5} \cos x} \end{array}\right. \; \Rightarrow x+2y+1=3+\sqrt{5} \sin x+2(1+\sqrt{5} \cos x)+1=\sqrt{5} \sin x+2\sqrt{5} \cos x+6\)

Xét \( \sqrt{5} \sin x+2\sqrt{5} \cos x+6=t\Leftrightarrow \sqrt{5} \sin x+2\sqrt{5} \cos x=t-6\Rightarrow (\sqrt{5} )^{2} +(2\sqrt{5} )^{2} \ge (t-6)^{2} \Leftrightarrow 1\le t\le 11\)

Ta có \(P=\frac{3y^{2} +4xy+7x+4y-1}{x+2y+1} =\frac{(x+2y+1)^{2} -\left[(x-3)^{2} +(y-1)^{2} \right]-(x+2y+1)+9}{x+2y+1} =\frac{t^{2} -t+4}{t} \)

Khi đó xét \(P(t)=\frac{t^{2} -t+4}{t} ;P'(t)=\frac{t^{2} -4}{t^{2} } ;P'(t)=0\Leftrightarrow t=-2;t=2 \)

Với \(1\le t\le 11\Rightarrow P_{\min } =P\eqref{GrindEQ__2_}=3 \)

Cách 2:

Đặt  \(x-3=a;y-1=b\to a^{2} +b^{2} =5 khi đó  x+2y+1=(3+a)+2(1+b)+1=a+2b+6 \)
\(\[P=\frac{(a+2b)^{2} +11(a+2b)+34}{a+2b+6} \] \)
Đặt\(  t=a+2b\Rightarrow (a+2b)^{2} \le (1^{2} +2^{2} )(a^{2} +b^{2} )\Rightarrow t^{2} \le 25\Rightarrow -5\le t\le 5 \)

Khi đó \(P=\frac{t^{2} +11t+34}{t+6} =f(t);f'(t)=\frac{t^{2} +12t+32}{(t+6)^{2} } ;f'(t)=0\Leftrightarrow t=-8;t=-4 \)

Xét trên \(t\in \left[-5;5\right];P_{\min } =f(-4)=3 \)