A(2;5;3) và d:x−1/2=y/1=z−2/2. Tìm hình chiếu của A lên d.

Question

Cho \(A\left(2;5;3\right)\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2} =\frac{y}{1} =\frac{z-2}{2} . \)Tìm tọa độ hình chiếu của điểm A trên d.

Answer 1

Phương trình tham số của \(d:\left\{\begin{array}{l} {x=1+2t} \\ {y=t} \\ {z=2+2t} \end{array}\right. .\)

Gọi A' là hình chiếu của điểm A trên d

\(\Rightarrow A'\in d\) nên tọa độ của A' có dạng \(A'\left(1+2t\, ;\, t\, ;\, 2+2t\right).\)

Ta có: \(\overrightarrow{AA'}\left(-1+2t\, ;\, t-5\, ;-1+2t\right).\)

\(\overrightarrow{u}\left(2\, ;\, 1\, ;2\right) \)là vectơ chỉ phương của d.

Vì A' là hình chiếu của điểm A trên d nên \(\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{u}=0 \Leftrightarrow 2\left(-1+2t\right)+1\left(t-5\right)+2\left(-1+2t\right)=0\Leftrightarrow t=1. \)
Vậy \(A'\left(3\, ;\, 1\, ;\, 4\right).\)