Question

Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.

Câu 2.

a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)

Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2.

Câu 4.

a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy: 

b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.

Câu 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a3 + b3.

Câu 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.

Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

Câu 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: |a + b| > |a - b|

Answer 1

1. giả sử √7 là số hữu tỉ 
=> √7 = a/b (a,b ∈ Z ; b ≠ 0) 
không mất tính tổng quát giả sử (a;b) = 1 
=> 7 = a²/b² 
<=> a² = b7² 
=> a² ⋮ 7 
7 nguyên tố 
=> a ⋮ 7 
=> a² ⋮ 49 
=> 7b² ⋮ 49
=> b² ⋮ 7
=> b ⋮ 7 
=> (a;b) ≠ 1 (trái với giả sử) 
=> giả sử sai 
=> √7 là số vô tỉ

2.

a: (ac+bd)2+(ad−bc)2(ac+bd)2+(ad−bc)2

=a2c2+b2d2−2abcd+a2d2−2abcd+b2c2=a2c2+b2d2−2abcd+a2d2−2abcd+b2c2

=a2c2+a2d2+b2d2+b2c2=a2c2+a2d2+b2d2+b2c2

=(c2+d2)(a2+b2)=(c2+d2)(a2+b2)

b: (ac+bd)2<=(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2<=(a2+b2)(c2+d2)</p>

⇔a2c2+2abcd+b2d2−a2c2−a2d2−b2c2−b2d2<=0⇔a2c2+2abcd+b2d2−a2c2−a2d2−b2c2−b2d2<=0</p>

⇔−a2d2+2abcd−b2c2<=0⇔−a2d2+2abcd−b2c2<=0</p>

⇔(ad−bc)2>=0⇔(ad−bc)2>=0(luôn đúng)

3.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: (x+ y)2  ≤≤ (x2 + y2) .(12 + 12) => 4 ≤≤ 2.S => 2 ≤≤ S

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1

Vậy GTNN của S là 2 tại x = y = 1