Dành cho các bạn có niềm đam mê với hình học

Question

a, chứng minh đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy 

b, chứng minh trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền 

c, tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng một nửa cạnh BC. chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A

d, chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30° thì cạnh góc vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền

Answer 1

a) Kéo dài MN về phía N 1 đoạn ND=MN ta được hai tam giác AMN và CDN= nhau theo trường hợp cạnh góc cạnh.(AN=NC; góc N đối đỉnh; MN=ND) 
từ đó ta có: 
góc AMN= góc CDN (hay CDM) (góc tương ứng) 
Mà AMN=MBC (đồng vị)=> góc MBC= góc CDN ....(1) 
mà hai góc AMN và CDM đó so le=> AM//CD hay AB//CD 
=>góc BMC=góc MCD (so le trong....) (2) 
Mặt khác AM=BM và cùng = CD (do tg AMN=tgCDN) ....(3) 
Từ (1) (2) (3)đó ta có tg MBC=tgCDM =>MD=BC 
suy ra MN =BC/2 (dpcm) 
Mặt khác tg MBC=tgCDM cũng cho ta: 
gocsDMC= góc MCD mà hai góc này có vị trí so le=> 
MD//BC hay MN//BC (dpcm)

b) Tam giác vuông ABC, vuông tại A, có AM là trung tuyến 
trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD=AM 
Do đó AM=1/2 AD (1) 
suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành, có ^A=90* 
nên ABDC là hình chữ nhật 
suy ra AD=BC (2) 
Từ (1) và (2) ta có AM = 1/2 BC 
Vậy trong 1 tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. 

c) Ta có: AM =MB =BC/2 

=> tg AMB cân tại M 

=> ^MAB = ^ABM = (180o - ^AMB)/2 

C/m tương tự 

=> ^MAC = ^ACM = (180o - ^AMC)/2 

=> ^MAB + ^MAC = ^A = 180 - (^AMB + ^AMC)/2 = 180 -180/2 =90o 

=> Tam giác ABC là tam giác vuông tại A

d){ Giả thiết: ∆ABC vuông tại A,có ^ACB = 30° 
{ KL: cạnh đối diện ^ACB (tức cạnh AB) = nửa cạnh huyền (tức cạnh BC) 

*Chứng minh : 
- Có ^ACB = 30° --> ^ABC = 60° ( do tổng 3 góc trong 1 tam giác = 180°) 

- Gọi M là trung điểm BC --> MB = MC = BC/2 

- Trong tam giác vuông thì đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông = 1/2 cạnh huyền --> AM = 1/2BC = BM 

- Xét ∆ABM có AM = BM --> ∆ABM cân cại M,lại có ^ABM = 60° 

--> ∆ABM là tam giác đều (tam giác cân có 1 góc = 60° thì là tam giác đều) 

--> AB = AM = BM = 1/2BC 

--> đ.p.c.m