Chứng minh: (n^5-n) chia hết 30; (n^4-10n^2+9) chia hết 384 (n lẻ thuộc Z); ( 10^n+18n-28) chia hết 27 ( n thuộc N)?

Question

Chứng minh rằng:

a) ( n^5 - n) chia hết cho 30

b) ( n^4 - 10n^2 + 9) chia hết cho 384(n lẻ thuộc Z)

c) ( 10^n + 18n - 28) chia hết cho 27 ( n thuộc N)

Answer 1

Câu a

\(n^{5}-n=n(n^{4}-1)=n(n^{2}-1)(n^{2}+1)=n(n-1)(n+1)(n^{2}+1)\)

Vì \(n(n-1)(n+1)\)là tích 3 số nguyên liên tiếp nên \(n(n-1)(n+1)\vdots 3\)

Vì \(n(n-1)\)là tích 2 số nguyên liên tiếp nên \(n(n-1)\vdots 2\)

\(\Rightarrow n^{5}-n\vdots 2,3\)

Mà \((2,3)=1\) nên \(n^{5}-n\vdots 6(*)\)

Mặt khác:

Ta biết rằng 1 scp chia 5 có thể có dư là \(0,1,4\)

\(\Rightarrow n(n^{2}-1)(n^{2}+1)\vdots 5, ∀n\) nguyên \((**)\)

Từ \((*),(**)\Rightarrow n^{5}-n\vdots (5.6=30)\)

Câu b

\(n^{4}-10n^{2}+9=n^{4}-n^{2}-9n^{2}+9=(n^{2}-1)(n^{2}-9)\)

\(=(n-1)(n+1)(n-3)(n+3)\)

Vì \(n\in Z\) và n lẻ nên \(n=2k+1(k\in Z)\)

\(\Leftrightarrow (n-1)(n+1)(n-3)(n+3)\)

\(=2k.(2k+2).(2k-2).(2k+4)\)

\(=16k(k+1)(k-1)(k+2)\)

Vì \(k,k+1,k-1,k+2\) là 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho \(1.2.3.4=24\)

Do đó \(16k(k+1)(k-1)(k+2)\vdots 24.16=384\)

Câu c

\(∀n=1\Leftrightarrow 10+18-28=0\vdots 27\)

\(G/s n=k\Leftrightarrow (10^{k}+18k-28)\vdots 27\)

\(\Leftrightarrow 10^{k}+18k-28=27m(m\in N)\)

\(\Leftrightarrow 10^{k}=27m-18k+28\)

\(∀n=k+1\Leftrightarrow 10^{k+1}+18(k+1)-28\)

\(=10.10^{k}+18k-10\)

\(=10(27m-18k+28)+18k-10=270m-162k+270\vdots 27\)

Theo PP quy nạp ta đc đpcm