Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x)+f′(x)=e^x và f(0)=2. Tất cả các nguyên hàm của f(x)e^2x là

Question

Cho hàm số \(f\left(x\right)\) thỏa mãn \(f\left(x\right)+f'\left(x\right)=e^{x}\) và \(f\left(0\right)=2.\)

Tất cả các nguyên hàm của  \(f\left(x\right)e^{2{\rm x}}\)  là 

\( A. \frac{1}{6} e^{3{\rm x}} +\frac{3}{2} e^{x} +C. \)

\(B. \frac{1}{6} e^{3{\rm x}} -\frac{3}{2} e^{x} +C.\)

\(C. \frac{1}{6} e^{3{\rm x}} +3e^{x} +C. \)

\(D. e^{3{\rm x}} +\frac{3}{2} e^{x} +C.\)

Answer 1

Chọn A

 Ta có

 \(\left(f\left(x\right)e^{x} \right)^{'} =f'\left(x\right)e^{{\rm x}} +f\left(x\right)e^{{\rm x}} =\left(f'\left(x\right)+f\left(x\right)\right)e^{x} =e^{2{\rm x}} \)

 Suy ra \(\int \left(f\left(x\right)e^{x} \right)^{'} dx =\int e^{2{\rm x}} dx =\frac{e^{2{\rm x}} }{2} +C.\)

 Nên \(f\left(x\right)e^{x} =\frac{e^{2{\rm x}} }{2} +C\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{\frac{e^{2{\rm x}} }{2} +C}{e^{x} } .\)

  Vì \(f\left(0\right)=2\) nên \(C=\frac{3}{2}\)  với mọi \(x\in {\rm R}.\)

 Suy ra \(f\left(x\right)=\frac{e^{2{\rm x}} }{2} +\frac{3}{2e^{x} } \)

 Vậy \(\int f\left(x\right)e^{2x} dx =\frac{1}{2} \int \left(e^{{\rm 3x}} +3e^{x} \right)dx =\frac{1}{6} e^{3{\rm x}} +\frac{3}{2} e^{x} +C.\)