Chọn C
Gọi a là số tiền vay, r là lãi suất, m là số tiền hàng tháng trả.
Số tiền nợ sau tháng thứ nhất là: \(N_{1} =a\left(1+r\right)-m.\)
Số tiền nợ sau tháng thứ hai là:
\(N_{2} =N_{1} \left(1+r\right)-m=a\left(1+r\right)^{2} -m\left[\left(1+r\right)+1\right]\)
Số tiền nợ sau tháng thứ ba là:
\(N_{3} =N_{2} \left(1+r\right)-m=a\left(1+r\right)^{3} -m\left[\left(1+r\right)^{2} +\left(1+r\right)+1\right]\)
\({\dots}.\)
Số tiền nợ sau n tháng là
:\( N_{n} =a\left(1+r\right)^{n} -m\left[\left(1+r\right)^{n-1} +\left(1+r\right)^{n-2} +\ldots +1\right]\)
\(=a\left(1+r\right)^{n} -\frac{m}{r} \left[\left(1+r\right)^{n} -1\right]=\left(a-\frac{m}{r} \right)\left(1+r\right)^{n} +\frac{m}{r}.\)
\(N_{n} =0\Leftrightarrow \left(1+r\right)^{n} =\frac{\frac{m}{r} }{\frac{m}{r} -a} \Leftrightarrow \left(1+r\right)^{n} =\frac{m}{m-ra} . \)
Sau $n$ tháng anh Nam trả hết nợ khi và chỉ khi
\(N_{n} =0\Leftrightarrow \left(1+0,005\right)^{n} =\frac{30.10^{6} }{30.10^{6} -0,005.10^{9} } .\)
\(\Leftrightarrow \left(1,005\right)^{n} =\frac{6}{5} \Leftrightarrow n=\log _{1,005} \left(\frac{6}{5} \right)\simeq 36,6.\)
Vậy sau 37 tháng thì anh Nam trả hết nợ.