Cho hàm số y=x^3 -6x^2 +9x-1 (C). Tìm số tiếp tuyến kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x=2 đến (C).

Question

Cho hàm số \(y=x^{3} -6x^{2} +9x-1\, \, \left(C\right)\). Tìm số tiếp tuyến kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x=2 đến \(\left(C\right).\)

A. 2.

B.1.

C. 3.

D. 0.

Answer 1

Chọn B

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left(2;\, b\right)\) thuộc đường thẳng

x=2 và có hệ số góc k có dạng: \(y=k\left(x-2\right)+b.\)

\(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left(C\right)\) khi hệ sau có nghiệm:

\(\left\{\begin{array}{l} {x^{3} -6x^{2} +9x-1=k\left(x-2\right)+b} \\ {3x^{2} -12x+9=k} \end{array}\right. .\)
\(\Rightarrow x^{3} -6x^{2} +9x-1=\left(3x^{2} -12x+9\right)\left(x-2\right)+b \)

\(\Leftrightarrow -2x^{3} +12x^{2} -24x+17=b\, \, (3).\)
Hàm số \(g\left(x\right)=-2x^{3} +12x^{2} -24x+17\) có

\(g'\left(x\right)=-6x^{2} +24x-24=-6\left(x-2\right)^{2} \le 0,\, \forall x\in {\rm R}\)

nên nghịch biến trên \({\rm R}\),

do đó phương trình \((3)\) luôn có duy nhất một nghiệm.

Vậy có đúng một tiếp tuyến kẻ từ một điểm

bất kì trên đường thẳng x=2 đến \(\left(C\right).\)