Cho hàm số f(x)=sin2x+2 khi x>0 3x+2 khi x≤ 0 .Khẳng định nào sau đây đúng ?

Question

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l} {\sin 2x+2\, \, \, \, \, khi\, \, x>0} \\ {3x+2\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, khi\, \, x\le 0} \end{array}\right.\) .Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.Hàm số \(f\left(x\right)\) không liên tục tại điểm x=0. 

B. Hàm số \(f\left(x\right)\) có đạo hàm tại x=0.

C.Hàm số \(f\left(x\right) \) liên tục tại điểm x=0và có đạo hàm tại x=0. 

D.Hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục tại điểm x=0 nhưng không có đạo hàm tại x=0.

Answer 1

Chọn  D

Hàm số liên tục tại x=0 vì

\({\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{-} }} f\left(x\right)=f\left(0\right)=2.\)

Kiểm tra điều kiện đủ để hàm số có đạo hàm tại x=0.  
\({\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} \frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} \frac{\sin 2x+2-2}{x} =2,{\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{-} }} \frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{-} }} \frac{3x+2-2}{x} =3 \)
Vì \({\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} \frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0} \ne {\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{-} }} \frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0} \),

do vậy hàm số không có đạo hàm tại x=0.