Cho số phức z thỏa mãn z+2z=(1+5i)^{2}. Mô đun của z thuộc khoảng nào sau đây?

Question

Cho số phức z thỏa mãn \(z+2\overline{z}=\left(1+5i\right)^{2} \). Mô đun của z thuộc khoảng nào sau đây?

\(A. \left(6;8\right). \)

\(B. \left(8;10\right). \)

\(C. \left(10;12\right). \)

\(D. \left(12;14\right).\)

Answer 1

Ta chọn câu D

Gọi \(z=x+yi,(x,y\in R).\)
\(\Rightarrow \overline{z}=x-yi. \)
Ta có: \(z+2\overline{z}=\left(1+5i\right)^{2} \)
\(\begin{array}{l} {\Leftrightarrow \left(x+yi\right)+2\left(x-yi\right)=-24+10i} \\ {\Leftrightarrow 3x-yi=-24+10i} \\ {\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {3x=-24} \\ {-y=10} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x=-8} \\ {y=-10} \end{array}\right. } \end{array} \)
\(\Rightarrow z=-8-10i. \)
\(\Rightarrow \left|z\right|=\sqrt{164} . \)
Vậy \(\left|z\right|\in \left(12;14\right).\)