Cho M là tập hợp các số phức z thỏa |2z-i|=|2+iz|. Gọi z1,z2 là hai số phức thuộc tập hợp M sao cho...

Question

Cho M là tập hợp các số phức z thỏa \(\left|2z-i\right|=\left|2+iz\right|.\) Gọi \(z_{1} ,z_{2} \) là hai số phức thuộc tập hợp M sao cho \(\left|z_{1} -z_{2} \right|=1\). Tính giá trị của biểu thức \(P=\left|z_{1} +z_{2} \right|.\)

\(A. P=\sqrt{3} .       \)

\(B. P=\frac{\sqrt{3} }{2} . \)

\(C. P=\sqrt{2} . \)

\(D. P=2.\)

Answer 1

Chọn A

Đặt \(z=x+iy\) với \(x,y\in {\rm R}.\)

Ta có: \(\left|2z-i\right|=\left|2+iz\right|\Leftrightarrow \left|2\left(x+iy\right)-i\right|=\left|2+i\left(x+iy\right)\right|\)
\(\Leftrightarrow \left|2x+\left(2y-1\right)i\right|=\left|2-y+xi\right|\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{\left(2x\right)^{2} +\left(2y-1\right)^{2} } =\sqrt{\left(2-y\right)^{2} +x^{2} }  \)
\(\Leftrightarrow x^{2} +y^{2} =1. \)
Nên tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn

\(\left(C\right)\) tâm \(O\left(0;0\right)\), bán kính R=1

Gọi \(z_{1} ,z_{2} \) là hai số phức thuộc tập hợp M

có điểm biểu diễn là điểm \(A,B\in \left(C\right).\)

Do \(\left|z_{1} -z_{2} \right|=1\) nên \(\Delta\)ABC đều canh bằng 1.

Suy ra \(P=\left|z_{1} +z_{2} \right|=OC=2OI=\sqrt{3} \)