Question

Cho một hình trụ nội tiếp mặt cầu có bán kính R. Một mặt phẳng đi qua trục hình trụ cắt hình trụ theo hình chữ nhật ABDE. FC là một đường kính mặt cầu nằm trong mp \(\left(ABCD\right)\) và song song với AB,DE. Tính thể tích khối trụ, biết ABCDEF là một lục giác đều (hình vẽ).

\(A.\frac{\pi R^{3} \sqrt{3} }{4} . \)

\(B. \frac{\pi R^{3} }{8} . \)

\(C. \frac{\pi R^{3} \sqrt{3} }{12} . \)

\(D.\frac{\pi R^{3} \sqrt{3} }{3} .\)

Answer 1

Chọn A

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ là r và h.

Đường tròn đáy của mặt trụ có tâm I.

Thiết diện là lục giác đều ABCDEF,

gọi H là giao điểm của CF và BD.

Ta có \(\Delta BHC\) là tam giác vuông nên:
\(BH=HC.\tan HCB=HC.\tan 60{}^\circ =HC\sqrt{3} \)

\(\Rightarrow \frac{h}{2} =\left(R-r\right)\sqrt{3} \Rightarrow h=2\left(R-r\right)\sqrt{3}  \)
Mặt khác: \(OI^{2} =OB^{2} -BI^{2} \Rightarrow \frac{h}{4} ^{2} =R^{2} -r^{2} \)

Từ đó: \(12\left(R-r\right)^{2} =4\left(R-r\right)\left(R+r\right)\Rightarrow 3\left(R-r\right)=R+r\)
\(\Rightarrow r=\frac{1}{2} R\Rightarrow h=R\sqrt{3} \Rightarrow V=\pi r^{2} h=\frac{\pi R^{3} \sqrt{3} }{4}  \)