Từ một khối gỗ hình trụ có đường kính 6 dm, bác nông dân dùng cưa để cắt theo mặt cắt đi qua một...

Question

Từ một khối gỗ hình trụ có đường kính \(6\, {\rm dm}\), bác nông dân dùng cưa để cắt theo mặt cắt đi qua một điểm trên đường sinh cách đáy \(1\, {\rm dm}\) và đi qua đường kính của đáy (như hình vẽ) để được một "khối nêm". Giúp bác nông dân tính thể tích của "khối nêm".

\(A. 0,006\left({\rm m}^{3} \right). \)

\(B. 0,06\pi \left({\rm m}^{3} \right). \)

\(C. 0,018\left({\rm m}^{3} \right). \)

\(D. 0,006\pi \left({\rm m}^{3} \right).\)

Answer 1

Chọn A 

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ khi đó khúc gỗ bé có

đáy là nữa hình tròn có phương trình \(y=\sqrt{9-x^{2} } \, ,\, -3\le x\le 3.\)

Một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x

,\( x\in \left[-3;3\right]\) cắt khúc gỗ bé theo thiết diện có diện tích \(S\left(x\right).\)

Dễ thấy \(NP=y, MN=NP.\tan \varphi =\sqrt{9-x^{2} } .\tan \varphi . \)

Khi đó \(S\left(x\right)=\frac{1}{2} MN.PN=\frac{1}{2} \left(9-x^{2} \right).\tan \varphi  \)với \(\tan \varphi =\frac{1}{3} .\)

Suy ra thể tích của khúc gỗ bé là:

\(V=\int _{-3}^{3}S\left(x\right) \, dx=\frac{1}{6} \int _{-3}^{3}\left(9-x^{2} \right) \, dx=6\left({\rm dm}^{3} \right)=0,006\left({\rm m}^{3} \right).\)

Tổng quát: \(V=\int _{-R}^{R}S\left(x\right) \, dx=\frac{1}{2} \int _{-R}^{R}\left(R-x^{2} \right) \, \tan \varphi \, dx=\frac{2R^{3} \tan \varphi }{3} \)

với \(h=MN,\, \tan \varphi =\frac{h}{R}\)