Cho khối cầu (S) tâm O bán kính R và hai mặt phẳng song song với nhau cắt khối cầu tạo thành hai...

Question

Cho khối cầu \(\left(S\right)\) tâm O bán kính R và hai mặt phẳng song song với nhau cắt khối cầu tạo thành hai hình tròn \((C_{1} ) \)và \((C_{2} )\) cùng bán kính. Diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn, đáy trùng với hình tròn còn lại. Khi đó thể tích khối trụ có hai đáy là hai hình tròn \((C_{1} )\) và \((C_{2} )\) bằng

\(A. \frac{4\pi R^{3} \sqrt{3} }{9} . \)

\(B. \frac{2\pi R^{3} \sqrt{3} }{9} . \)

\(C. \frac{\pi R^{3} \sqrt{3} }{9} . \)

\(D. \frac{4\pi R^{3} \sqrt{3} }{3} .\)

Answer 1

Chọn A

 

Gọi \(r,\, h,\, l\) lần lượt là bán kính đáy, chiều cao và

đường sinh của hình nón và \(I_{1} ,\, I_{2} ,\, O\) lần lượt

là tâm của hai đường tròn \((C_{1} ),\, (C_{2} )\) và mặt cầu.

Vì hai đường tròn \((C_{1} ),\, (C_{2} ) \) có bán kính bằng nhau

nên dễ dàng suy ra: \(OI_{1} =OI_{2} =\frac{h}{2} \)

Ta có \(r=\sqrt{R^{2} -\frac{h^{2} }{4} } \Rightarrow \, l=\sqrt{h^{2} +r^{2} } =\sqrt{R^{2} +\frac{3h^{2} }{4} } .\)

Diện tích xung quanh hình nón là 
\(S_{xq} =\pi rl=\pi .\sqrt{R^{2} -\frac{h^{2} }{4} } .\sqrt{R^{2} +\frac{3h^{2} }{4} }\)

\( =\frac{\pi }{4\sqrt{3} } \sqrt{\left(12R^{2} -3h^{2} \right).\left(4R^{2} +3h^{2} \right)} \le \frac{2\pi R^{2} }{\sqrt{3} } . \)
\(S_{xq} \) lớn nhất bằng \(\frac{2\pi R^{2} }{\sqrt{3} }\) . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

\(12R^{2} -3h^{2} =4R^{2} +3h^{2} \Leftrightarrow h=\frac{2R}{\sqrt{3} } .\)
\(\Rightarrow r=\frac{R\sqrt{6} }{3} . \)
Mà bán kính đáy và chiều cao của hình nón

cũng chính là bán kính đáy và chiều cao hình trụ.

Vậy thể tích hình trụ \(V=\pi .r^{2} .h=\pi .\frac{6R^{2} }{9} .\frac{2R}{\sqrt{3} } =\frac{4\pi R^{3} \sqrt{3} }{9} .\)