Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), bán kính R=5. Một mặt phẳng (a) đi qua trung điểm...

Question

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), bán kính R=5. Một mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua trung điểm của OO' và tạo với OO' một góc \(30{}^\circ \), \((\alpha )\) cắt đường tròn đáy theo dây cung có độ dài l=4. Tính thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ đã cho.

\(A.350\sqrt{3} \pi . \)

\(B. 150\sqrt{7} \pi . \)

\(C. 150\sqrt{3} \pi . \)

\(D. 50\sqrt{7} \pi .\)

Answer 1

Chọn B 

Gọi: M là trung điểm của OO', \(AB=(\alpha )\cap (O)\).

Gọi Hlà trung điểm của \(AB\Rightarrow OH\bot AB\Rightarrow AB\bot (OMH).\)

Trong (OMH): Kẻ \(OK\bot MH\Rightarrow OK\bot (\alpha ).\)
\(\Rightarrow \widehat{\left(OO',\, \left(\alpha \right)\right)}=\widehat{OMK}=30{}^\circ . \)
Ta có: \(AB=4\Rightarrow AH=2\Rightarrow OH=\sqrt{OA^{2} -AH^{2} } =\sqrt{5^{2} -2^{2} } =\sqrt{21} .\)
\(\tan 30{}^\circ =\frac{OH}{OM} \Rightarrow OM=\frac{OH}{\tan 30{}^\circ } =3\sqrt{7} \Rightarrow OO'=6\sqrt{7} . \)
Thể tích khối trụ là: \(V=\pi .5^{2} .6\sqrt{7} =150\sqrt{7} \pi .\)