Cho mặt cầu (S) tâm I có bán kính bằng 4, hình trụ (H) có hai đường tròn đáy nằm trên (S). Đường thẳng...

Question

Cho mặt cầu \(\left(S\right)\) tâm I có bán kính bằng 4, hình trụ \(\left(H\right)\) có hai đường tròn đáy nằm trên \(\left(S\right)\). Đường thẳng d qua tâm của mặt cầu cắt mặt cầu tại M,N và cắt hai đáy của hình trụ tại K, H. Biết K,H chia đoạn MN bằng ba phần bằng nhau và góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng đáy của hình trụ bằng \(\varphi\)  thỏa \(\sin \varphi =\frac{3}{4}\) . Tính bán kính đáy của hình trụ \(\left(H\right).\)

\(A. 2. \)

\(B.2\sqrt{3} \).

\(C.\sqrt{11} \).

\(D. \sqrt{15} \).

Answer 1

Chọn D

Vì K,H chia đoạn MN bằng ba phần bằng nhau

nên \(KI=\frac{R}{3} .\)

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng đáy hình trụ bằng góc \( \widehat{IKO}\).

Xét tam giác vuông IKO ta có

\(\sin \varphi =\frac{3}{4} \Rightarrow \frac{OI}{IK} =\frac{3}{4} \Rightarrow \frac{\frac{h}{2} }{\frac{R}{3} } =\frac{3}{4} \Rightarrow h=\frac{R}{2} =2.\)

Khi đó bán kính đáy của hình trụ \(\left(H\right)\) là \(r=\sqrt{R^{2} -\left(\frac{h}{2} \right)^{2} } =\sqrt{15} \)