Cho mặt cầu tâm O bán kính R=3. Mặt phẳng (P) cách O một khoảng bằng x, cắt mặt cầu theo một...

Question

Cho mặt cầu tâm O bán kính R=3. Mặt phẳng \(\left(P\right)\) cách O một khoảng bằng x, cắt mặt cầu theo một đường tròn \(\left(C\right)\). Hình nón \(\left(P\right)\) có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn \(\left(P\right)\). Tìm x biết thể tích khối nón được tạo nên bởi \(\left(P\right)\) có giá trị lớn nhất.

\(A. x=\sqrt{3} . \)

\(B. x=\sqrt{2}\) .

\(C. x=2. \)

\(D. x=1.\)

Answer 1

Chọn D

Gọi \(H\, ,\, \, r\) lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn \(\left(C\right)\);

h=SH là đường cao của hình nón \(\left(N\right).\)

Để khối nón \(\left(N\right)\) có thể tích lớn nhất thì SH=h>R.

Ta có: \(x=OH\Rightarrow h=R+x\) và \(r^{2} =R^{2} -x^{2} .\)

Thể tích khối nón \(V=\frac{1}{3} {\rm \pi }.r^{2} .h=\frac{{\rm \pi }}{3} \left(R^{2} -x^{2} \right)\left(R+x\right).\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương ta có:
\(V=\frac{{\rm \pi }}{6} \left(2R-2x\right).\left(R+x\right).\left(R+x\right)\le \frac{{\rm \pi }}{6} .\left[\frac{\left(2R-2x\right)+\left(R+x\right)+\left(R+x\right)}{3} \right]^{3} \)

\(=\frac{32{\rm \pi }R^{3} }{81} . \)
Do đó V lớn nhất khi \(2R-2x=R+x\Leftrightarrow x=\frac{R}{3} .\)

Vậy \(x=\frac{R}{3} =1.\)