Question

Cho khối cầu tâm I, bán kính R=9. Một khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r,nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao h sao cho khối nón có thể tích lớn nhất.

\(A.h=\frac{9}{4} . \)

\(B. h=\frac{27}{4} . \)

\(C. h=36. \)

\(D. h=12.\)
 

Answer 1

Chọn D

Gọi H là hình chiếu của S lên mặt đáy của nón

thì SH đi qua tâm I, khi đó thể tích khối nón

có điểm I nằm giữa Svà Hsẽ lớn hơn thể tích

của khối nón có Svà H nằm cùng phía với nhau so với điểm I.

Đặt

\(HI=x;SH=SI+IH=9+x ; HA=HB\)

\(=\sqrt{IA^{2} -IH^{2} } =\sqrt{81-x^{2} } .\)

Thể tích khối nón là
\(V=\frac{1}{3} \pi HA^{2} .SH=\frac{1}{3} \pi \left(81-x^{2} \right)\left(9+x\right)=\frac{\pi }{6} \left(18-2x\right)\left(9+x\right)^{2} . \)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương:

\(\left(18-2x\right),\left(9+x\right),\left(9+x\right)\) ta được
\(V=\frac{\pi }{6} \left(18-2x\right)\left(9+x\right)\left(9+x\right)\le \frac{\pi }{6} \left(\frac{18-2x+9+x+9+x}{3} \right)^{3} =288\pi . \)
Đẳng thức xảy ra khi \(18-2x=9+x\Leftrightarrow x=3\Rightarrow h=12.\)