Question

Trên các cạnh \(AB,BC,CD,DA \) của tứ giác lồi \( ABCD\) ta lần lượt lấy 1 điểm, 2 điểm, 3 điểm và n điểm \((n∈N^∗)\) mà không có điểm nào trùng với đỉnh của tứ giác. Tìm nn biết rằng từ \(n+6\) điểm đó ta lập được 439 tam giác

Answer 1

Giả sử ta có n + 6 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó có C3n+6 tam giác có các đỉnh lấy từ các điểm trên.

Mặt khác ta có 3 điểm nằm trên cạnh CD thẳng hàng và n điểm trên cạnh DA thẳng hàng.

Vậy số tam giác cần tìm là: C3n+6 - C3n – 1 = 439

⇔  -  = 440

⇔ (n + 6)(n + 5)(n + 4) - n(n - 1)(n - 2) = 2640

⇔ 18n2 + 72n – 2520 = 0 ⇔ 

Vậy n = 10 là giá trị cần tìm.