a) Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi (IJE).
Từ gt, ta có IJ//CD nên: \(\left(IJE\right)\cap \left(BCD\right)=IJ//CD\)
\(\left(IJE\right)\cap \left(ABD\right)=JE\)
\( \left\{\begin{array}{l} {IJ//CD} \\ {E\in \left(IJE\right)\cap \left(ACD\right)} \end{array}\right. \)
\(\Rightarrow \left(IJE\right)\cap \left(ACD\right)=EF//IJ//CD\; \left(F\in AC\right)\)
\( \left(IJE\right)\cap \left(ABC\right)=IF\)
Tứ giác IJEF có IJ//EF (vì cùng song song với CD) nên IJEF là hình thang.
Vậy thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi (IJE) là hình thang IJEF.
b) Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành.
Hình thang IJEF là hình bình hành \(\Leftrightarrow IJ=EF\) (Vì \(IJ//EF\) ) (1)
\(IJ=\frac{1}{2} CD\) (vì IJl à đường trung bình của ra \(\Delta BCD\)) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow EF=\frac{1}{2} CD\) mà \(CD//EF\) trong \(\Delta \, ACD. \)
\(\Rightarrow\) EF là đường trung bình trong \(\Delta \, ACD\)
Vậy E là trung điểm của AD thì thiết diện là hình bình hành.
c) Tìm điều kiện của tứ diện và vị trí của điểm E trên cạnh AD
sao cho thiết diện là hình thoi.
Hình bình hành IJEF là hình thoi \(\Leftrightarrow IJ=IF\, \, \left(3\right) \)
\(IF=\frac{1}{2} AB\) (vì IF là đường trung bình của\(\Delta \, ABC\)) (4)
mà \(IJ=\frac{1}{2} CD\, \left(5\right) \)
Từ (3), (4), (5) \(\Rightarrow AB=CD\)
Vậy tứ diện ABCD có AB=CD và E là trung điểm của AD
thì thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi (IJE) là hình thoi.