cho tam giác cân ABC cân tại A

Question

Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH . Gọi M là trung điểm của AC . Gọi D là điểm đối xứng với H qua M
a) Chứng minh tứ giác AHCD là hình chữ nhật
b) chứng minh tứ giác ADHB là hình bình hành
c) gọi K là giao điểm của AH và BD . Gọi I là giao điểm của CK và DH . Chứng minh BK= 3KI.

Answer 1

a) Vì D đối xứng với H qua M nên MD = MH
và MA = MC(gt)
Suy ra tứ giác ADCH là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết) 

mà AH vuông góc với BC (GT)

=>tứ giác AHCD là hình chữ nhật

                        vậy tứ giác AHCD là hình chữ nhật

b)Vì AHCD là hình chữ nhật=>AD//HC hay AD//HB(1)

                                                   và AD=HC

mà HB=HC( ABC là tam giác cân=>AH vừa là đường cao đông thời là đường trung tuyến)

=>AD=HB

Từ (1) và (2)=>ADHB là hình bình hành.

                                  Vậy ADHB là hình bình hành.

c) Từ ADHB là hình bình hành =>AH cắt BD tại trung điểm K của mỗi đường=> K là trung điểm của AH

          Trong tam giác AHC có:

                                   K là trung điểm của AH (CMT)

                                    M là trung điểm của AC (GT)

                                   Hai đường trung tuyến CK và HM cắt nhau tại I

                          => I là trực tâm tam giác AHC

                            =>CI=2/3 CK hay KI =1/3 CK (3)

Vì tam giác ABC cân => AH đồng thời là trực đối xứng của tam giác 

mà K thuộc AH ( do K là giao điểm của AH và BD)

=> KH là đường trung trực

=> KB=KC (4)

Từ (3) và (4) => KI=1/3 KB

hay BK=3 KI

               Vậy BK=3 KI

 Hình bạn tự vẽ nha.