Chọn A
Với x<2, ta có <span class="math-tex">\(f\left(x\right)=x^{2} +2x-1\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\left(-\infty ;2\right).\)
Với x>2, ta có \(f\left(x\right)=x+5 \)là hàm đa thức nên liên tục trên \(\left(2;+\infty \right).\)
Ta có
\({\mathop{\lim }\limits_{x\to 2^{-} }} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to 2^{-} }} \left(x^{2} +2x-1\right)=7 \)
\({\mathop{\lim }\limits_{x\to 2^{+} }} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to 2^{+} }} \left(x+2\right)=7; f\left(2\right)=7.\)
Do đó \({\mathop{\lim }\limits_{x\to 2^{+} }} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to 2^{-} }} f\left(x\right)=f\left(2\right)\) nên hàm số liên tục tại x=2.
Khi đó hàm số đã cho liên tục trên R
Đặt \(t=\ln \left(x^{2} +1\right)\stackrel{}{\longrightarrow}{\rm d}t=\frac{2x{\rm d}x}{x^{2} +1} \Rightarrow \frac{x{\rm d}x}{x^{2} +1} =\frac{{\rm d}t}{2} .\)
Đổi cận:
Với x=0 ta có t=0
Với \(x=\sqrt{e^{4} -1} \)ta có t=4
Khi đó \(I=\frac{1}{2} \int _{0}^{4}f\left(t\right){\rm d}t =\frac{1}{2} \int _{0}^{4}f\left(x\right){\rm d}x =\frac{1}{2} \left(\int _{0}^{2}\left(x^{2} +2x-1\right)dx+\int _{2}^{4}\left(x+5\right)dx \right)\)
\(=\frac{1}{2} \left[\left(\frac{x^{3} }{3} +x^{2} -x\right)\left|\begin{array}{l} {2} \\ {0} \end{array}\right. +\left(\frac{x^{2} }{2} +5x\right)\left|\begin{array}{l} {4} \\ {2} \end{array}\right. \right]=\frac{1}{2} \left(\frac{14}{3} +16\right)=\frac{31}{3} . \)