Chọn D
Cách 1
Ta có \(f\left(x\right)=x^{4} -2x^{3} +3+m\left(x-x^{3} \right) nên \left\{\begin{array}{l} {f\left(0\right)=3} \\ {f\left(1\right)=2} \\ {f\left(-1\right)=6} \end{array}\right. ,\forall x\in {\rm R}.\)
Suy ra \({\mathop{Min}\limits_{{\rm R}}} f\left(x\right)\le f\left(1\right)=2
\Rightarrow Max\left({\mathop{Min}\limits_{{\rm R}}} f\left(x\right)\right)=f\left(1\right)=2\)
Suy ra \(f'\left(1\right)=0.\)
Ta có \(f'\left(x\right)=4x^{3} -6x^{2} +m\left(1-3x^{2} \right).\)
\(f'\left(1\right)=0\Leftrightarrow 4.1^{3} -6.1^{2} +m\left(1-3.1^{2} \right)=0\Leftrightarrow m=-1.\)
Thử lại với \(m=-1thì f\left(x\right)=x^{4} -x^{3} -x+3.\)
Ta có \(f'\left(x\right)=4x^{3} -3x^{2} -1=0\Leftrightarrow \left(x-1\right)\left(4x^{2} +x+1\right)=0\Leftrightarrow x=1\)
Ta có \(f''\left(x\right)=12x^{2} -6x,f''\left(1\right)=12-6=6>0.\) Do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x=1
Suy ra \(f\left(3\right)=54.\) Chọn đáp án D.
Cách 2
Ta có \(f\left(x\right)=x^{4} -\left(m+2\right)x^{3} +mx+3\)
\(\Leftrightarrow 4f\left(x\right)=4x^{4} -4\left(m+2\right)x^{3} +4mx+12\)\(
\Leftrightarrow 4f\left(x\right)+\left[\left(m+2\right)^{2} .x^{2} -2.\left(m+2\right)x+1\right]\)
\(=\left[4x^{4} +\left(m+2\right)^{2} .x^{2} +1-4\left(m+2\right)x^{3} -4x^{2} +2\left(m+2\right)x\right]+\left(4x^{2} -8x+4\right)+8\)
\(\Leftrightarrow 4f\left(x\right)+\left[\left(m+2\right)x-1\right]^{2} =\left[2x^{2} -\left(m+2\right)x-1\right]^{2} +4\left(x-1\right)^{2} +8\ge 8\)
\[\Leftrightarrow f\left(x\right)\ge 2-\frac{\left[\left(m+2\right)x-1\right]^{2} }{4} =M.\]
Yêu cầu bài toán\( \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {Minf\left(x\right)=2} \\ {MaxM=2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x=1} \\ {m=-1} \end{array}\right. .\)
Thử lại với \(m=-1thì f\left(x\right)=x^{4} -x^{3} -x+3 do đó f\left(3\right)=54.\)