Tìm hệ số của số hạng chứa x^31 trong khai triển ​(3x−x^3)^15

Question

Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^{31}\)  trong khai triển \(\left(3x-x^{3} \right)^{15}  \)

Answer 1

Xét: \((3x-x^{3} )^{15} =\sum _{k=0}^{15}C_{15}^{k}  (3x)^{15-k} (-x^{3} )^{k} =\sum _{k=0}^{15}C_{15}^{k}  3^{15-k} (-1)^{k} x^{15+2k} .\)

 Hệ số của số hạng chứa \(x^{31} \)trong khai triển ứng với k  thỏa mãn: \(15+2k=31\Leftrightarrow k=8{\kern 1pt} \, \, \, (tm).\)

\(\Rightarrow\)  Hệ số của số hạng chứa \(x^{31}\) trong khai triển là: \(3^{7} C_{15}^{8}  .\)