Tìm hệ số của số hạng chứa x^9 trong khai triển nhị thức New-Tơn của biểu thức (3+x)^n biết C3n+6−C3n=440. ​

Question

Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^{9}\) trong khai triển nhị thức New-Tơn của biểu thức \((3+x)^{n}\)  biết 
\(C_{n+6}^{3} -C_{n}^{3} =440 . \)

Answer 1

\(C_{n+6}^{3} -C_{n}^{3} =440\)

Điều kiện: \(\left\{\begin{array}{l} {n\ge 3} \\ {n\in {\rm N}} \end{array}\right. .\)
\(\begin{array}{l} {\Leftrightarrow \frac{(n+6)!}{3!.(n+3)!} -\frac{n!}{3!.(n-3)!} =440} \\ {\Leftrightarrow \frac{(n+6)(n+5)(n+4).(n+3)!}{6.(n+3)!} -\frac{n(n-1)(n-2).(n-3)!}{6.(n-3)!} =440} \\ {\Leftrightarrow (n+6)(n+5)(n+4)-n(n-1)(n-2)=2640} \\ {\Leftrightarrow 18n^{2} +72n-2520=0} \\ {\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {n=10} \\ {n=-14(l)} \end{array}\right. } \\ {} \end{array} \)
    Ta có: \((3+x)^{10} =\sum _{k=0}^{10}C_{10}^{k} 3^{10-k} x^{k}   .\)

     Hệ số của số hạng chứa \(x^{9}  \)trong khai triển ứng với k=9. 

     Vậy hệ số của \(x^{9} \) trong khai triển là: \(3C_{10}^{9}  .\)