Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (3x2+2x)n với C0n+C1n+C2n=121.

Question

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển \(\left(3x^{2} +\frac{2}{x} \right)^{n}  với C_{n}^{0} +C_{n}^{1} +C_{n}^{2} =121.\)
 

Answer 1

\(C_{n}^{0} +C_{n}^{1} +C_{n}^{2} =121 ĐK: \left\{\begin{array}{l} {n\in {\rm N}} \\ {n\ge 2} \end{array}\right.  . \begin{array}{l} {C_{n}^{0} +C_{n}^{1} +C_{n}^{2} =121\Leftrightarrow 1+\frac{n!}{1!.(n-1)!} +\frac{n!}{2!.(n-2)!} =121} \\ {\Leftrightarrow 1+n+\frac{n(n-1)}{2} =121\Leftrightarrow n^{2} +n-240=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {n=15\, \left(tm\right)} \\ {n=-16\, \left(l\right)} \end{array}\right. } \end{array} \)
Ta có: \(\left(3x^{2} +\frac{2}{x} \right)^{15} =\sum _{k=0}^{15}C_{15}^{k} \left(3x^{2} \right)^{15-k} \left(\frac{2}{x} \right) ^{k} =\sum _{k=0}^{15}C_{15}^{k} 3^{15-k} 2^{k}  x^{30-2k} x^{-k} =\sum _{k=0}^{15}C_{15}^{k} 3^{15-k} 2^{k}  x^{30-3k} .\)

Hệ số của số hạng  không chứa x trong khai triển ứng với k thỏa mãn:\(30-3k=0\Leftrightarrow k=10{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left(tm\right)\)

Vậy số hạng không chứa x  trong khai triển là: \(3^{5} .2^{10} .C_{15}^{10}  .\)