Tìm hệ số của số hạng chứa x^9 trong khai triển nhị thức Newton (x2−5x3)n. Biết ​Cn+1n+4−Cnn+3=7(n+3).

Question

Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^{9}\)  trong khai triển nhị thức Newton \(\left(x^{2} -\frac{5}{x^{3} } \right)^{n} . \)Biết rằng \(C_{n+4}^{n+1} -C_{n+3}^{n} =7\left(n+3\right). \)
 

Answer 1

Điều kiện \(x\ne 0,n\in {\rm N}^{*} \, \)

Ta có \(C_{n+4}^{n+1} -C_{n+3}^{n} =7\left(n+3\right)\)
\(\Leftrightarrow \frac{\left(n+4\right)!}{\left(n+1\right)!.3!} -\frac{\left(n+3\right)!}{n!.3!} =7\left(n+3\right) \)

\(​ \Leftrightarrow \left(n+4\right)\left(n+2\right)-\left(n+2\right)\left(n+1\right)=42 (vì n+3>0) ​\)
\(\Leftrightarrow 3n=36\Leftrightarrow n=12\, \, \, \left(TM\right). \)
Suy ra \(P\left(x\right)=\left(x^{2} -\frac{5}{x^{3} } \right)^{12}  \)

Số hạng tổng quát trong khai triển là \(T_{k+1} =C_{12}^{k} .\left(x^{2} \right)^{12-k} .\left(-\frac{5}{x^{3} } \right)^{k} =\left(-1\right)^{k} .C_{12}^{k} .5^{k} .x^{24-5k} \, \left(k\in {\rm N}\, ;\, k\le 12\right).\)

Vì số hạng cần tìm chứa \(x^{9}  nên 24-5k=9\Leftrightarrow k=3\, \, \, \left(TM\right).\)

Vậy hệ số của số hạng chứa \(x^{9} là \left(-1\right)^{3} .C_{12}^{3} .5^{3} =-27500.\)