Δ:x−6/−3=y+1/−2=z+2/1vàA(1;7;3). Viết ptmp (P) qua A, vuông Δ. Tìm M thuộc Δ: AM= 2 căn 30

Question

Cho\( \Delta \_ :\frac{x-6}{-3} =\frac{y+1}{-2} =\frac{z+2}{1}  và A\left(1\, ;7\, ;3\right).\) Viết phương trình mp (P)  đi qua Avà vuông góc với\( \Delta \). Tìm M thuộc \(\Delta\)  sao cho \(AM=2\sqrt{30} .\)

Answer 1

* Viết phương trình mp (P) đi qua Avà vuông góc với\( \Delta .\)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta  là \vec{u}=\left(-3\, ;-2\, ;1\right).\)

Mp (P) vuông góc với \(\Delta \) nên (P) nhận vectơ chỉ phương của đường thẳng\( \Delta\)  là vectơ pháp tuyến. 

Phương trình mặt phẳng (P) là: \(-3\left(x-1\right)-2\left(y-7\right)+1\left(z-3\right)=0\Leftrightarrow -3x-2y+z+14=0.\)

* Tìm M thuộc\( \Delta \) sao cho \(AM=2\sqrt{30} .\)

Vì Mthuộc\( \Delta\)  nên tọa độ điểm Mcó dạng \(M\left(6-3t;-1-2t;-2+t\right).\)

Ta có \(AM=2\sqrt{30} \, \Leftrightarrow AM^{2} =120\Leftrightarrow \left(5-3t\right)^{2} +\left(-8-2t\right)^{2} +\left(-5+t\right)^{2} =120.\)
\(\Leftrightarrow 14t^{2} -8t-6=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {t=1} \\ {t=-\frac{3}{7} } \end{array}\right.   {}_{+\ \ }\)
Với \(t=1\Rightarrow M\left(3;-3;-1\right)\, . {}_{+\ \ }\)

Với \(t=-\frac{3}{7} \Rightarrow M\left(\frac{51}{7} ;-\frac{1}{7} ;-\frac{17}{7} \right)\, .\)

Vậy tìm được hai điểm là \(M\left(3;-3;-1\right)\, và M\left(\frac{51}{7} ;-\frac{1}{7} ;-\frac{17}{7} \right)\, .\)