(S):x^2+y^2+z^2−10x+2y+26z−113=0,d:x+5/2=y−1/−3=z+13/2;k:x=−7+3t;y=−1−2t;z=8. Viết (P) tx (S), vuông (d)

Question

Cho mặt cầu \((S):\, \, x^{2} +y^{2} +z^{2} -10x+2y+26z-113=0,\) đường thẳng \(d:\, \frac{x+5}{2} =\frac{y-1}{-3} =\frac{z+13}{2}\) và đường thẳng \(k:\left\{\begin{array}{c} {x=-7+3t} \\ {y=-1-2t} \\ {z=8} \end{array}\right.  .\)
Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và vuông góc với đường thẳng d.
 

Answer 1

Ta có: Mặt cầu (S) có tâm\( I(5;-1;-13),\, \, R=2\sqrt{77} .\)

 1. Vì \(mp(P)\bot \, (d) \)nên chọn VTPT  \(\overrightarrow{n_{P} }=\overrightarrow{u_{d} }=(2;-3;2) \)

\( \Rightarrow  \)phương trình mp(P)có dạng: 2x-3y+2z+D=0 .

 Mặt khác: mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) nên:
\(d(I;(P))=R \Leftrightarrow \frac{\left|2.5-3.(-1)+2.(-13)+D\right|}{\sqrt{2^{2} +(-3)^{2} +2^{2} } } =2\sqrt{77}   \Leftrightarrow \left|D-13\right|=2\sqrt{1309}  \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {D=2\sqrt{1309} +13} \\ {D=-2\sqrt{1309} +13} \end{array}\right.  \)

 Vậy phương trình  \(mp(P)là: 2x-3y+2z+2\sqrt{1309} +13=0 \)

   hoặc\( 2x-3y+2z-2\sqrt{1309} +13=0.\)