A(−1;−1;−2),B(0;1;1) và (P):x+y+z−1=0. Tìm hc vuông góc của A trên (P). Viết ptmp chứa AB và vuông (P)

Question

Cho \(A\left(-1\, ;-1\, ;-2\right),B\left(0\, ;1\, ;1\right)\) và \(\left(P\right):x+y+z-1=0.\) Tìm hình chiếu vuông góc của A trên (P). Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với (P).
 

Answer 1

* Tìm hình chiếu vuông góc củaA trên (P)

      Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}=\left(1\, ;1\, ;1\right).\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua Avà  vuông góc với mặt phẳng (P). Ta có \(\Delta \)  nhận vectơ pháp tuyến  \(\vec{n}=\left(1\, ;1\, ;1\right)của\left(P\right)\) làm một vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của \(\Delta\)  là: \(\left\{\begin{array}{l} {x=-1+t} \\ {y=-1+t} \\ {z=-2+t} \end{array}\right. \)

Gọi Hlà hình chiếu vuông góc củaA trên \(\left(P\right)\Rightarrow H=\Delta \cap \left(P\right).\)

Tọa độ điểm H\, thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{\begin{array}{l} {x=-1+t} \\ {y=-1+t} \\ {z=-2+t} \\ {x+y+z-1=0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {x=\frac{2}{3} } \\ {y=\frac{2}{3} } \\ {z=\frac{-1}{3} } \end{array}\right. .\)

Vậy \(H\, \left(\frac{2}{3} ;\frac{2}{3} ;\frac{-1}{3} \right).\)

* Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳngABvà vuông góc với (P)

Ta có\( \overrightarrow{AB}=\left(1\, ;\, 2;3\right)\)

Vectơ pháp tuyến  của mặt phẳng (Q) là \(\vec{n}_{Q} =\left[\vec{n},\overrightarrow{AB}\right]=\left(1\, ;-2\, ;1\right).\)

Phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳngABvà vuông góc với (P) là:
\(\left(Q\right):1\left(x+1\right)-2\left(y+1\right)+1\left(z+2\right)=0\Rightarrow \left(Q\right):x-2y+z+1=0. \)