A(0;0;3),M(1;2;0). Viết ptmp (P) qua A, cắt Ox,Oy tại B,C sao cho ABC có trọng tâm thuộc AM.

Question

Cho hai điểm \(A\left(0\, ;0\, ;\, 3\right), M\left(1\, ;\, 2\, ;\, 0\right).\) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt trục Ox,Oy tại B và C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM.
 

Answer 1

 Đường thẳng AM qua \(A\left(0\, ;0\, ;\, 3\right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{AM}=\left(1\, ;\, 2\, ;\, -3\right)\) nên có phương trình tham số là: \(\left\{\begin{array}{l} {x=t} \\ {y=2t} \\ {z=3-3t} \end{array}\right. .\)

 Gọi \(B\left(b\, ;\, 0\, ;\, 0\right), C\left(0\, ;\, c\, ;\, 0\right) \)và G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó \(G\left(\frac{b}{3} \, ;\, \frac{c}{3} \, ;\, 1\right).\)

 Do \(G\in AM nên: \left\{\begin{array}{l} {\frac{b}{3} =t} \\ {\frac{c}{3} =2t} \\ {1=3-3t} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {t=\frac{2}{3} } \\ {b=2} \\ {c=4} \end{array}\right. \Rightarrow B\left(2\, ;\, 0\, ;\, 0\right),\, C\left(0\, ;\, 4\, ;\, 0\right)\)

 Phương trình mặt phẳng\( \left(P\right) qua B\left(2\, ;\, 0\, ;\, 0\right),\, C\left(0\, ;\, 4\, ;\, 0\right), A\left(0\, ;0\, ;\, 3\right)là: \frac{x}{2} +\frac{y}{4} +\frac{z}{3} =1.\)