Viết ptmp (Q) qua M(1;1/2;0) và vuông góc ​(P):3y-2z=0, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu ​(S):x2+y2+z2=1.

Question

Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua \(M\left(1 ; \frac{1}{2}  ; 0\right)\) và vuông góc với mặt phẳng (P):3y-2z=0, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu\( (S):x^{2} +y^{2} +z^{2} =1 .\)
 

Answer 1

Mặt cầu (S) có tâm O(0 ; 0 ; 0) và bán kính R=1.

Giả sử phương trình mặt phẳng\((Q):Ax+By+Cz+D=0,  (A^{2} +B^{2} +C^{2} \ne 0).\)
\(M\in (Q)\Leftrightarrow A+\frac{1}{2} B+D=0  \Leftrightarrow D=-A-\frac{1}{2} B  \) (1)
\((Q)\bot (P)\Leftrightarrow 3B-2C=0 \Leftrightarrow C=\frac{3}{2} B (2)\) 
(Q) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\Leftrightarrow d(O,(Q))=1\Leftrightarrow D^{2} =A^{2} +B^{2} +C^{2}  (3)\)

Thay (1) và (2) vào (3), ta có: \(3B^{2} -AB=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} {B=0} \\ {A=3B} \end{array}\right.\) 

Với \(B=0\Rightarrow C=0.\) Chọn \(A=1\Rightarrow D=-1.\) Ta có phương trình mặt phẳng (Q):x-1=0 

Với A=3B. Chọn \(B=2\Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {A=6   } \\ {C=3   } \\ {D=-7} \end{array}\right. \). Ta có phương trình mặt phẳng (Q):6x+2y+3z-7=0 

Vậy (Q):x-1=0 ; (Q):6x+2y+3z-7=0 .