Viết ptmp (Q) qua G(2;1;-1) biết (Q)⊥(P):x+2y−z+1=0 và (Q) tạo với (xOy) 1 góc 45 độ

Question

Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua \(G(2{\rm  ; 1 ; -1)}\) biết mặt phẳng \((Q)\bot(P) :x+2y-z+1=0 \)và mặt phẳng (Q) tạo với mặt phẳng (xOy) một góc \(45{}^\circ .\)
 

Answer 1

Mặt phẳng (Q) đi qua \(G(2{\rm  ; 1 ; -1)}\) nên có phương trình dạng:\(A\left(x-2\right)+B\left(y-1\right)+C\left(z+1\right)=0, A^{2} +B^{2} +C^{2} >0.\)

Vì mặt phẳng\( (Q)\bot(P)\)  nên \(A+2B-C=0\Leftrightarrow A=-2B+C.\)

Vì góc giữa mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (xOy) là \(45{}^\circ\)  nên \(\frac{\left|C\right|}{\sqrt{A^{2} +B^{2} +C^{2} } } =\frac{\sqrt{2} }{2} \Leftrightarrow \frac{\left|C\right|}{\sqrt{(-2B+C)^{2} +B^{2} +C^{2} } } =\frac{\sqrt{2} }{2} \Leftrightarrow 2\left|C\right|=\sqrt{2} \sqrt{5B^{2} +2C^{2} -4BC}\)   
\(4C^{2} =10B^{2} +4C^{2} -8BC\Leftrightarrow 10B^{2} -8BC=0\Leftrightarrow 2B\left(5B-4C\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {B=0} \\ {B=\frac{4C}{5} } \end{array}\right. . \)
Nếu \(B=0\Rightarrow A=C\) thì có phương trình : x+z-1=0.

Nếu \(B=\frac{4C}{5} \Rightarrow A=-\frac{3}{5} C\)  thì có phương trình : \(-\frac{3}{5} C\left(x-2\right)+\frac{4}{5} C\left(y-1\right)+C\left(z+1\right)=0\Leftrightarrow -\frac{3}{5} \left(x-2\right)+\frac{4}{5} \left(y-1\right)+\left(z+1\right)=0\Leftrightarrow -3x+4y+5z+7=0.\)