Viết ptmp (Q) biết (Q) đi qua điểm H(2;1;1) và cắt các trục tọa độ tại A,B,C sao cho H là trực tâm ΔABC.

Question

Viết phương trình mặt phẳng (Q) biết mặt phẳng (Q) đi qua điểm H(2;1;1) và cắt các trục tọa độ tại A,B,C sao cho H là trực tâm \(\Delta ABC. \)

Answer 1

Cách 1: Giả sử mặt phẳng (Q) cắt các trục tọa độ tại các điểm khác gốc tọa độ là 

\(A\left(a; 0; 0\right), B\left(0; b; 0\right), C\left(0; 0; c\right)\) với \(a, b, c\ne 0.\)

Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng \(\frac{x}{a} +\frac{y}{b} +\frac{z}{c} =1.\)

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm \(H\left(2; 1; 1\right)\) nên \(\frac{2}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} =1\)  (1)

Ta có:\(\overrightarrow{AH}=\left(2-a; 1; 1\right), \overrightarrow{BC}=\left(0; -b; c\right), \overrightarrow{BH}=\left(2; 1-b; 1\right), \overrightarrow{CA}=\left(a; 0; -c\right).\)

Điểm M là trực tâm tam giác \(\Delta ABC\) khi và chỉ khi

\(\left\{\begin{array}{l} {H\in \left(P\right)} \\ {\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0} \\ {\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}=0} \end{array}\right.  \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {\frac{2}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} =1} \\ {b=c} \\ {2a=c} \end{array}\quad \Rightarrow a=3;b=6;c=6\right.  \)
Phương trình mặt phẳng (Q)là 2x+y+z-6=0.

Cách 2: Dễ chứng minh được \(OH\bot \left(Q\right).\)

Suy ra mặt phẳng (Q) nhận \(\overrightarrow{OH}\left(2; 1; 1\right) \)làm một vec tơ pháp tuyến. 

Do đó phương trình mặt phẳng (Q)là 2(x-2)+y-1+z-1=0\(\Leftrightarrow 2x+y+z-6=0.\)