(P):x+y+z−3=0,(Q):x−y+z−1=0. Viết ptmp (R) vuông góc (P) và (Q) sao cho d[O;(R)]=2

Question

Cho \(\left(P\right):\, x+y+z-3=0,\, \, \, \left(Q\right):\, x-y+z-1=0. \)Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với mặt phẳng (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.
 

Answer 1

Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{P} }=\left(1;1;1\right).\)

Mặt phẳng (Q) có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{Q} }=\left(1;-1;1\right).\)

Mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{n_{P} };\overrightarrow{n_{Q} }\right]=\left(2;0;-2\right).\)

Khi đó phương trình \(mp\left(R\right):\, 2x-2z+D=0.\)
\(d\left(O,\left(R\right)\right)=2\Leftrightarrow \frac{\left|3.0+1.0-2.0+D\right|}{\sqrt{2^{2} +0^{2} +\left(-2\right)^{2} } } =2\Leftrightarrow \left|D\right|=4\sqrt{2} \Leftrightarrow D=\pm 4\sqrt{2} . \)
Vậy phương trình \(mp\left(P\right):\, \left[\begin{array}{l} {2x-2z+4\sqrt{2} =0} \\ {2x-2z-4\sqrt{2} =0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x-z+2\sqrt{2} =0} \\ {x-z-2\sqrt{2} =0} \end{array}\right. .\)