3n−3n−1C1n+3n−2C2n−3n−3C3n+...+(−1)nCnn=16384. Hệ số x9y24 trong khai triển (2xy+y3)nlà:

Question

Biết \(3^{n} -3^{n-1} C_{n}^{1} +3^{n-2} C_{n}^{2} -3^{n-3} C_{n}^{3} +...+\left(-1\right)^{n} C_{n}^{n} =16384 \). Hệ số của \(x^{9} y^{24} \) trong khai triển của \(\left(2xy+y^{3} \right)^{n}  là:\)

 A.2002. B.64064. C.1025024. D. Đáp án khác.
 

Answer 1

Chọn C

Ta có: \(3^{n} -3^{n-1} C_{n}^{1} +3^{n-2} C_{n}^{2} -3^{n-3} C_{n}^{3} +...+\left(-1\right)^{n} C_{n}^{n} =16384 \Leftrightarrow \left(3-1\right)^{n} =16384\Leftrightarrow 2^{n} =2^{14} \Leftrightarrow n=14 \)
Số hạng tổng quát trong khai triển của \(\left(2xy+y^{3} \right)^{14}  là C_{14}^{k} \left(2xy\right)^{14-k} y^{3k} =C_{14}^{k} 2^{14-k} x^{14-k} y^{14+2k}  .\)

Theo giả thiết , ta có: \(\left\{\begin{array}{l} {14-k=9} \\ {14+2k=24} \end{array}\right. \Leftrightarrow k=5 .\)

Vậy hệ số của \(x^{9} y^{24}  là C_{14}^{5} 2^{9} =1025024 .\)