Question

Cho số tự nhiên a gồm 60 chữ số 1, số tự nhiên b gồm 30 chữ số 2. Chứng minh
a - b là một số chính phương

Answer 1

Để chứng minh rằng a - b là một số chính phương, ta cần tính giá trị của a và b.

Số tự nhiên a gồm 60 chữ số 1 có dạng: a = 111...111 (60 số 1)
Số tự nhiên b gồm 30 chữ số 2 có dạng: b = 222...222 (30 số 2)

Ta có:
a = 111...111 = 10^0 + 10^1 + 10^2 + ... + 10^59
b = 222...222 = 2*(10^0 + 10^1 + 10^2 + ... + 10^29)

Vậy a - b = 10^0 + 10^1 + 10^2 + ... + 10^59 - 2*(10^0 + 10^1 + 10^2 + ... + 10^29)
a - b = 10^30 + 10^31 + ... + 10^59

Ta thấy rằng a - b là tổng của các lũy thừa của 10 từ 30 đến 59. Đây chính là một số chính phương vì nó có thể biểu diễn dưới dạng (10^15)^2.

Vậy ta đã chứng minh được rằng a - b là một số chính phương.