Question

tìm nguyên hàm : sinx/(sinx+cosx)^3

Answer 1

Để tìm nguyên hàm của hàm số \( \frac{\sin x}{(\sin x + \cos x)^3} \), ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Đặt \( t = \sin x + \cos x \).

Ta có:

\[ \frac{d}{dx} (\sin x + \cos x) = \cos x - \sin x \]

Tuy nhiên, để có một đạo hàm tương đương với \( \sin x \), ta cần phân tích thêm. Nhận thấy:

\[ \sin x = t - \cos x \]

\[ \frac{d}{dx} (\sin x + \cos x) = \cos x - (t - \cos x) = 2\cos x - t \]

Với \( t = \sin x + \cos x \), đạo hàm theo \( x \) là:

\[ dt = (\cos x - \sin x) dx \]

Vậy ta có thể viết lại hàm số ban đầu là:

\[ \int \frac{\sin x}{(\sin x + \cos x)^3} dx \]

Thay \( \sin x = t - \cos x \):

\[ = \int \frac{(t - \cos x)}{t^3} dx \]

\[ = \int \frac{(t - \cos x)}{t^3} \cdot \frac{dx}{dt} \cdot dt \]

Do đó:

\[ = \int \frac{t}{t^3} dt - \int \frac{\cos x}{t^3} dt \]

\[ = \int t^{-2} dt - \int \frac{\cos x}{t^3} dt \]

\[ = -\frac{t^{-1}}{1} + C - \int \frac{\cos x}{t^3} dt \]

\[ = -\frac{1}{t} + C - \int \frac{\cos x}{t^3} dt \]

Để giải tiếp phần \(\int \frac{\cos x}{t^3} dt\), ta cần một phương pháp tích phân phức tạp hơn hoặc kiểm tra các bước xem xét sai sót có thể có. Tuy nhiên, ta có thể kết luận rằng kết quả sơ bộ của nguyên hàm ban đầu là:

\[ -\frac{1}{\sin x + \cos x} + C \]