Question

Hình thang cân ABCD có hai đáy là AB và CD với AB < CD. Gọi M, N, O, P lần lượt là trung điểm của AB, trung điểm của CD, giao điểm của AD và BC, giao điểm của AC và BD. Chứng tỏ rằng: M, N, O, P là các điểm thằng hàng.

(KHÔNG CẦN VẼ HÌNH)

Answer 1

AB//CD =>  và  (đồng vị)

Mà  (ABCD là hình thang cân) =>  => Tam giác OAB cân tại O => OA = OB

Mà AD = BC (ABCD là hình thang cân) => OA + AD = OB + BC => OD = OC (1)

Tam giác ADC và tam giác BCD có: AD = BC (cmt);  (cmt); DC chung

=> Tam giác ADC = Tam giác BCD (c - g - c) =>  (2 góc tương ứng) => PCD cân tại P => PD = PC (2)

Nối M với D và C

Tam giác MAD và tam giác MBC có: MA = MB (M là trung điểm của AB);  (ABCD là hình thang cân); AD = BC (cmt)

=> Tam giác MAD = Tam giác MBC (c - g - c) => MD = MC (2 cạnh tương ứng) (3)

N là trung điểm của DC => ND = NC (4)

Từ (1), (2), (3), (4), ta có: O, P, M, N thuộc dường trung trực của DC

Vậy M, N, O, P thẳng hàng