Question

Gọi \(z_{1} ,z_{2}\)  là các số phức thỏa mãn \(\left\{\begin{array}{l} {\left|z\right|^{2} +2z.\overline{z}+\left|\overline{z}\right|^{2} =8} \\ {z+\overline{z}=2} \end{array}\right. \). Tính tổng \(z_{1} +z_{2} \)

A. 1   

B. 4   

C. 3   

D. 2

Answer 1

Ta chọn câu D

Đặt \(z=a+bi\left(a,b\in R\right)\)

Hệ phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {\left(\sqrt{a^{2} +b^{2} } \right)^{2} +2\left(a+bi\right).\left(a-bi\right)+\left(\sqrt{a^{2} +b^{2} } \right)^{2} =8} \\ {\left(a+bi\right)+\left(a-bi\right)=2} \end{array}\right. } \\ {\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {2\left(\sqrt{a^{2} +b^{2} } \right)^{2} +2\left(a^{2} +b^{2} \right)=8} \\ {2a=2} \end{array}\right. } \\ {\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {4\left(a^{2} +b^{2} \right)=8} \\ {a=1} \end{array}\right. } \\ {\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {4\left(1^{2} +b^{2} \right)=8} \\ {a=1} \end{array}\right. } \\ {\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {a=1} \\ {\left[\begin{array}{l} {b=1} \\ {b=-1} \end{array}\right. } \end{array}\right. } \end{array}\)
Vậy ta có \(z_{1} =1+i,z_{2} =1-i. \)

Suy ra \(z_{1} +z_{2} =1+i+1-i=2\)