Giả sử z1, z2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn |iz+√2-i|=1 và |z1-z2|=2. Giá trị lớn nhất...

Question

Giả sử \(z_{1} , z_{2}\)  là hai trong số các số phức z thỏa mãn \(\left|iz+\sqrt{2} -i\right|=1\) và \(\left|z_{1} -z_{2} \right|=2\). Giá trị lớn nhất của \(\left|z_{1} \right|+\left|z_{2} \right|\) bằng

A. 3.

B. \(3\sqrt{2} . \)

C. 4.

D.\( 2\sqrt{3} .\)

Answer 1

Chọn C

Ta có

\(\left|iz+\sqrt{2} -i\right|=1\Leftrightarrow \left|i\left(z-1-\sqrt{2} i\right)\right|=1\)

\(\Leftrightarrow \left|z-1-\sqrt{2} i\right|=1.\)

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z,

ta có M nằm trên đường tròn \(\left(C\right)\)

tâm \(I\left(1;\sqrt{2} \right)\) bán kính R=1.

Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức \(z_{1} , z_{2}\) ,

theo đề bài ta có A, B nằm trên đường tròn \(\left(C\right) \) 

và \(\left|z_{1} -z_{2} \right|=2\Leftrightarrow AB=2\)

nên AB là đường kính của đường tròn \(\left(C\right).\)

Áp dụng công thức

\(\left|z_{1} +z_{2} \right|^{2} +\left|z_{1} -z_{2} \right|^{2} =2\left(\left|z_{1} \right|^{2} +\left|z_{2} \right|^{2} \right) \)
\(\Rightarrow \left|2\overrightarrow{OI}\right|^{2} +\left|\overrightarrow{AB}\right|^{2} =2\left(\left|\overrightarrow{OA}\right|^{2} +\left|\overrightarrow{OB}\right|{}^{2} \right)\)

\(\Rightarrow 2\left(OA^{2} +OB^{2} \right)=4OI^{2} +AB^{2} =16. \)
(Có thể thay đoạn này bằng công thức đường trung tuyến thì HS dễ hiểu hơn)

Ta có

\(\left(\left|z_{1} \right|+\left|z_{2} \right|\right)^{2} =\left(OA+OB\right)^{2} \le 2\left(OA^{2} +OB{}^{2} \right)\)

\(=4OI^{2} +AB^{2} =16.\)

(Do OI là trung tuyến của tam giác OAB nên

\(2\left(OA^{2} +OB^{2} \right)=4OI^{2} +AB^{2} =16\))

Vậy \(\max \left(\left|z_{1} \right|+\left|z_{2} \right|\right)=4\) xảy ra khi OA=OB, khi đó \(AB\bot OI.\)